第1章: 高度な電気回路理論
1.1 高度な回路解析
1.1.2 ラプラス変換を用いた回路解析
ラプラス変換は、時間領域の微分方程式を複素数平面上の代数方程式に変換する手法です。これにより、回路解析がより簡便になります。特に、線形回路の過渡応答解析において強力なツールとなります。
ラプラス変換の基本
ラプラス変換 L { f(t) } は次の式で定義されます：L { f(t) } = F(s) = ∫_0^∞ f(t) e^(-st) dt
ここで、s は複素数平面の変数であり、一般に s = σ + jω と表されます。
回路要素のラプラス変換
- 抵抗 R：V(s) = R · I(s)
- インダクタ L：V(s) = L · s · I(s) – L · I(0)
- キャパシタ C：I(s) = C · s · V(s) – C · V(0)
回路解析の手順
- 時間領域の回路を s 領域に変換する。
- 回路方程式を立て、代数方程式として解く。
- 逆ラプラス変換を用いて、時間領域の解を求める。
例題
次のRLC回路において、スイッチを閉じた瞬間の過渡応答を求めます。
初期条件： V_C(0) = V_0, I_L(0) = 0
- s 領域の回路方程式：V(s) / R + (V(s) – L · I(0)) / (L · s) + V(s) / (C · s) = 0
- 方程式を解く：V(s) = V_0 / (L · C · s^2 + R · C · s + 1)
- 逆ラプラス変換：V(t) = V_0 · e^(-Rt / (2L)) · cos( sqrt(1/(LC) – (R/(2L))^2) · t )
1.2 交流回路の応用
交流（AC）回路は、時間とともに変化する電圧と電流を扱います。交流回路の解析では、フェーザ表示や複素数を用いることで、計算を簡便にすることができます。本節では、フィルタ設計や共振回路の設計と解析について詳しく説明します。
1.2.1 フィルタ設計
フィルタの種類
- ローパスフィルタ：低周波成分を通過させ、高周波成分を減衰させる。
- ハイパスフィルタ：高周波成分を通過させ、低周波成分を減衰させる。
- バンドパスフィルタ：特定の周波数帯域を通過させる。
- バンドストップフィルタ：特定の周波数帯域を減衰させる。
設計例：ローパスフィルタ
回路構成：R-Cローパスフィルタ
H(jω) = V_out / V_in = 1 / (1 + jωRC)
カットオフ周波数 ω_c は次のように求められます：ω_c = 1 / (RC)
1.2.2 共振回路の設計と解析
共振の基本
共振回路は、特定の周波数でインピーダンスが最小または最大になる特性を持ちます。この周波数を共振周波数と呼びます。
直列共振回路
回路構成：直列RLC回路
共振周波数 ω_0 は次のように求められます：ω_0 = 1 / sqrt(LC)
インピーダンス：Z(jω) = R + jωL + 1 / (jωC)
共振周波数でのインピーダンスは：Z(jω_0) = R
並列共振回路
回路構成：並列RLC回路
共振周波数 ω_0 は直列共振と同様に：ω_0 = 1 / sqrt(LC)
インピーダンス：Y(jω) = 1 / R + jωC + 1 / (jωL)
共振周波数でのアドミタンス（インピーダンスの逆数）は：Y(jω_0) = 1 / R
